题目内容

已知向量
m
=(sin2x，cosx)，
n
=(
3
，2cosx)(x∈R)，f(x)=
m
•
n
-1，
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，f(A)=2，a=
3
，B=
π
4
，求b的值．
分析：（1）利用向量的数量积，二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间．
（2）通过f（A）=2，求出A的值，利用正弦定理直接求出b的值即可．
解答：
解 ：(1)f(x)=
m
•
n
-1=
3
sin2x+2cos2x-1
 =
3
sin2x+cos2x
 =2sin(2x+
π
6
)(2分)

由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
 (k∈Z)，得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
(k∈Z)（4分）
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]  k∈Z （6分）
(2) 在△ABC中
，∵f(A)=2sin(2A+
π
6
)=2，∴2A+
π
6
=
π
2
，∴A=
π
6
(9分)
由正弦定理得：b=
asinB
sinA
=
3
×
2
2
1
2
=
6
，∴b=
6
(14分)
点评：本题是中档题，考查三角函数在三角形中的应用，向量的数量积、三角函数公式以及函数的性质的应用，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，则sin2θ的值为
 
已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
1
2
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，
3π
4
]上的取值范围．
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，当θ∈[0，π]时，函数f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．
（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．

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