Question

过点P（2，1）的直线y-1=k（x-2）（k为常数，k≠

1

2

）分别交两坐标轴于A、B两点，若

OP

=t

OA

+s

OB

，O为坐标原点，则

1

t

+

1

s

的最小值是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：根据题意，点P在直线AB上且在A、B两点之间，所以可设

AP

=λ

PB

，其中λ＞0．由此推导出

OP

=

1

1+λ

OA

+

λ

1+λ

OB

，再结合已知等式：

OP

=t

OA

+s

OB

，得到 t=

1

1+λ

，s=

λ

1+λ

，从而得到t+s=1且t、s都是小于1的正数．最后利用“1的代换”和基本不等式，可以求出

1

t

+

1

s

的最小值．

解答：解：∵点P在线段AB上，即在直线AB上且在A、B两点之间，
∴可以设

AP

=λ

PB

且λ＞0，
∵

AP

=

OP

-

OA

、

PB

=

OB

-

OP

，
∴

OP

-

OA

═λ(

OB

-

OP

)，
∴

OP

=

1

1+λ

OA

+

λ

1+λ

OB

，
再结合题意：

OP

=t

OA

+s

OB

，得到

t= 1 1+λ s= λ 1+λ

．
∴t+s=1，因为λ＞0所以t、s都是小于1的正数，
∴

1

t

+

1

s

=（t+s）（

1

t

+

1

s

）=2+（

t

s

+

s

t

），

∵

t

s

+

s

t

≥2

t s • s t

=2，
∴

1

t

+

1

s

≥4，当且仅当t=s=

1

2

时，

1

t

+

1

s

的最小值为4．
故选A．

点评：本题考查了平面向量基本定理和基本不等式求最值等知识点，属于中档题．解题过程中巧妙地避免了运用坐标进行繁琐的代数化简，请同学们注意这点．