题目内容
【题目】如图，DE∥BC，BC=2DE，CA⊥CB，CA⊥CD，CB⊥CD，F、G分别是AC、BC中点． 
（1）求证：平面DFG∥平面ABE；
（2）若AC=2BC=2CD=4，求二面角E﹣AB﹣C的正切值．
【答案】
（1）证明：∵F、G分别是AC、BC中点．
∴FG∥AB，
∵FG平面ABE，AB平面ABE，
∴FG∥平面ABE，
∵DE∥BC，BC=2DE，G是BC中点，
∴DE 
BG，∴四边形DEBG是平行四边形，
∴DG∥BE，
∵DG平面ABE，BE平面ABE，
∴DG∥平面ABE，
∵DG∩FG=G，DG，FG平面DFG，
AB∩BE=B，AB，BE平面ABE，
∴平面DFG∥平面ABE
（2）解：∵DE∥BC，BC=2DE，CA⊥CB，CA⊥CD，CB⊥CD，F、G分别是AC、BC中点．
∴以C为原点，CA为x轴，以CB为y轴，以CD为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AC=2BC=2CD=4，
∴A（4，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），E（0，1，2），
=（﹣4，1，2）， 
=（﹣4，2，0）， 
=（﹣4，0，2），
设平面ABE的法向量 
=（x，y，z），
则 
，取x=1，得 =（1，0，2），
平面ABC的法向量 
=（0，0，1），
则cos＜ 
＞= 
．
∴二面角E﹣AB﹣C的余弦值为cosα= 
，
则sinα= 
，tanα= 
= 
．
∴二面角E﹣AB﹣C的正切值为 ．
【解析】（1）推导出FG∥AB，从而FG∥平面ABE，从而出四边形DEBG是平行四边形，从而DG∥BE，进而DG∥平面ABE，由此能证明平面DFG∥平面ABE．（2）以C为原点，CA为x轴，以CB为y轴，以CD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣C的正切值．
