Question

若存在实数x₀与正数a，使x₀+a，x₀-a均在函数f（x）的定义域内，且f（x₀+a）=f（x₀-a）成立，则称“函数f（x）在x=x₀处存在长度为a的对称点”．
（1）设f（x）=x³-3x²+2x-1，问是否存在正数a，使“函数f（x）在x=1处存在长度为a的对称点”？试说明理由．
（2）设g（x）=x+

b

x

（x＞0），若对于任意x₀∈（3，4），总存在正数a，使得“函数g（x）在x=x₀处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶函数图象的对称性

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（1+a）=f（1-a）得（1+a）³-3（1+a）²+2（1+a）-1=（1-a）³-3（1-a）²+2（1-a）-1，化简即可求出正数a；
（2）令g（x）=c，则x+

b

x

=c，即x²-cx+b=0必须有两正根，且两根的算术平均数为x₀，即可求b的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（1+a）=f（1-a），
∴（1+a）³-3（1+a）²+2（1+a）-1=（1-a）³-3（1-a）²+2（1-a）-1，
∴a（a+1）（a-1）=0，
∵a＞0，
∴a=1；
（2）令g（x）=c，则x+

b

x

=c，即x²-cx+b=0（*）．
由题意，方程（*）必须有两正根，且两根的算术平均数为x₀，
∴c＞0，b＞0，c²-4b＞0，

c

2

=x₀，
∴0＜b＜x₀²对一切意x₀∈（3，4）均成立，
∴b的取值范围为（0，9]．

点评：本题考查新定义，考查函数的性质，考查学生的计算能力，正确理解新定义是关键．