Question

19．若$f（x）=\frac{x}{x+1}$，f₁（x）=f（x），${f_n}（x）={f_{n-1}}[{f（x）}]（{n≥2，n∈{N^*}}）$，则f（1）+f（2）+…f（2015）+f₁（1）+f₂（1）+f₃（1）+…f₂₀₁₅（1）的值为（　　）

• A． 2014
• B． 2015
• C． 4028
• D． 4030

Answer 1

分析 利用题中所给的关系式首先求得f_n（x）的解析式，然后利用函数解析式的特点整理计算即可求得最终结果．

解答 解：由题意可得：${f}_{1}（x）=f（x）=\frac{x}{x+1}$，
${f}_{2}（x）={f}_{1}[f（x）]={f}_{1}（\frac{x}{x+1}）=\frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1}+1}=\frac{x}{2x+1}$，
${f}_{3}（x）={f}_{2}[f（x）]={f}_{2}（\frac{x}{x+1}）=\frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{2x}{x+1}+1}=\frac{x}{3x+1}$，
据此归纳可得：${f}_{n}（x）=\frac{x}{nx+1}$ （n≥2，n∈N*），
则：${f}_{n}（1）+f（n）=\frac{1}{n+1}+\frac{n}{n+1}=1$，
据此可得：
f（1）+f（2）+…f（2015）+f₁（1）+f₂（1）+f₃（1）+…f₂₀₁₅（1）
=f（1）+f₁（1）+f（2）+f₂（1）+f（3）+f₃（1）+…+f（2015）+f₂₀₁₅（1）
=1+1+1+…+1（2015个）
=2015．
故选：B．

点评 本题考查函数值的求解，函数解析式的特征，归纳推理的思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．