Question

求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程.

Answer 1

剖析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称,它们具有下列几何性质:(1)若a、b相交,则l是a、b交角的平分线;(2)若点A在直线a上,那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上,这时AB⊥l,并且AB的中点D在l上;(3)a以l为轴旋转180°,一定与b重合.使用这些性质,可以找出直线b的方程.解此题的方法很多,总的来说有两类:一类是找出确定直线方程的两个条件,选择适当的直线方程的形式,求出直线方程;另一类是直接由轨迹求方程.

解：由解得a与l的交点E(3,-2),E点也在b上.

    方法一:设直线b的斜率为k,又知直线a的斜率为-2,直线l的斜率为-.

则=.

    解得k=-.

    代入点斜式得直线b的方程为y-(-2)=-(x-3),

    即2x+11y+16=0.

方法二:在直线a:2x+y-4=0上找一点A(2,0),设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x₀,y₀),

    由

    解得B(,-).

    由两点式得直线b的方程为=,

    即2x+11y+16=0.

    方法三:设直线b上的动点P(x,y)关于l:3x+4y-1=0的对称点Q(x₀,y₀),则有

   

    解得x₀=,y₀=.

    Q(x₀,y₀)在直线a:2x+y-4=0上,

    则2×+-4=0,

    化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.

    方法四:设直线b上的动点P(x,y),直线a上的点Q(x₀,4-2x₀),且P、Q两点关于直线l:3x+4y-1=0对称,则有

   

    消去x₀,得2x+11y+16=0或2x+y-4=0(舍).

讲评：本题体现了求直线方程的两种不同的途径,方法一与方法二,除了点E外,分别找出确定直线位置的另一个条件:斜率或另一个点,然后用点斜式或两点式求出方程;方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质,直接由轨迹求方程,在使用这种方法时,要注意区分动点坐标及参数.本题综合性较强,只有对坐标法有较深刻的理解,同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.