Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，一条斜率等于1的直线L与圆C交于A，B两点．
（1）求弦AB最长时直线L的方程
（2）求△ABC面积最大时直线L的方程
（3）若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线L在y轴上的截距范围．

Answer 1

分析：（1）欲求弦AB最长时直线L的方程，依据圆的特征：圆的直径是最长的弦，只须求出l过圆心时的方程即可；
（2）欲求△ABC面积最大时直线L的方程，因其两腰定长，故只须顶角为直角时面积最大，最后利用点到直线的距离公式求解即可；
（3）将直线的方程代入圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系AB的中点坐标，最后利用|OM|＜

1

2

AB即可求得截距范围，从而解决问题．

解答：解：（1）∵L过圆心时弦长AB最大，圆心坐标为（1，-2），∴L的方程为x-y-3=0（4分）
（2）△ABC的面积S=

1

2

CACBsin∠ACB=

9

2

sin∠ACB，
当∠ACB=

π

2

时，△ABC的面积S最大，
此时△ABC为等腰三角形
设L方程为y=x+m，则圆心到直线距离为

3 2

2

从而有

|1+2+m|

2

=

3 2

2

m=0或m=-6则L方程为x-y=0或x-y-6=0（8分）
（3）设L方程为y=x+b（4）
由

y=x+b x2+y2-2x+4y-4=0

⇒2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0(*)
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则A，B两点的横坐标为方程（*）的解，
由

△＞0 x1+x2=-b-1

⇒

-3- 26 ＜b＜-3+ 26 x1+x2=-b-1

AB的中点坐标为M(

-b-1

2

，

b-1

2

)
AB=2

9-( |3+b| 2 )2

由题意知：|OM|＜

1

2

AB⇒b²+3b-4＜0⇒-4＜b＜1（14分）

点评：本小题主要考查直线的一般式方程、直线和圆的方程的应用、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想．属于中档题．