Question

动圆C过定点（1，0），且与直线x=-1相切．设圆心C的轨迹Γ方程为F（x，y）=0
（1）求F（x，y）=0；
（2）曲线Γ上一定点P（1，2），方向向量

d

=(1，-1)的直线l（不过P点）与曲线Γ交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为k_PA，k_PB，计算k_PA+k_PB；
（3）曲线Γ上的一个定点P₀（x₀，y₀），过点P₀作倾斜角互补的两条直线P₀M，P₀N分别与曲线Γ交于M，N两点，求证直线MN的斜率为定值．

Answer 1

（1）过点C作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|CF|=|CN|，
即动点C到定点F与定直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线．
其中（1，0）为焦点，x=-1为准线，所以轨迹方程为y²=4x．
（2）证明：设 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由题得直线的斜率-1．
过不过点P的直线方程为y=-x+b，由

y2=4x y=-x+b

 得  y²+4y-4b=0，则y₁+y₂=-4．
由于P（1，2），kAP+kBP=

y1-2

x1-1

+

y2-20

x2-1

=

y1-2

y 21 4 -1

+

y2-2

y 22 4 -1

=

4

y1+2

+

4

y2+2

=

4(y1+y2+4)

(y1+2)(y2+2)

=0．
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 kMN=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y 22 4 - y 21 4

=

4

y1+y2

（***）．
设MP的直线方程为y-y₀=k（x-x₀），
由

y2=4x y-y0=k(x-x0)

，可得y2-

4

k

y+

4y0

k

-4x0=0，
则y0+y1=

4

k

，∴y1=

4

k

-y0．
同理y0+y2=-

2p

k

，得y2=-

4

k

-y0．
代入（***）计算得：y₁+y₂=-2y₀ ，∴kMN=-

2

y0

（为定值）．