Question

1．设集合M是实数集R的一个子集，如果点x₀∈R满足：对任意?＞0，都存在x∈M，使得0＜|x-x₀|＜?，称x₀为集合M的一个“聚点”．若由集合：
①有理数集；
②无理数集；
③{sin$\frac{π}{n+1}$|n∈N^*}；
④{$\frac{n}{n+1}$|n∈N^*}
其中以0为“聚点”的集合是①②③．（写出所有符合题意的结论序号）

Answer 1

分析 根据聚点的定义分别进行判断即可．

解答 解：①定义[x]为不大于x的最大整数，
则对任意?＞0，$\frac{1}{?}$＜[$\frac{1}{?}$]+2，则$\frac{1}{?}$＞$\frac{1}{[\frac{1}{?}]+2}$，
取有理数x=$\frac{1}{[\frac{1}{?}]+2}$即可得，0＜|$\frac{1}{[\frac{1}{?}]+2}$-0|＜?，故0为有理数集的“聚点”；
②对任意的?＞0，都存在x=$\frac{?}{2}$，使得0＜|x|＜?
∴0是无理数集的聚点；
③∵sinx＜x，x∈（0，1），
∴对任意?＞0，0＜|sin?|＜?，
∴0为集合{sin$\frac{π}{n+1}$||n∈N^*}的“聚点”；
④∵$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$＜…＜$\frac{n}{n+1}$，
∴0不是集合{$\frac{n}{n+1}$|n∈N^*}的“聚点”，
故答案为：①②③．

点评 本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解集合的聚点的含义，是解答本题的关键．