Question

已知两点，，曲线上的动点满足，直线与曲线交于另一点．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设，若，求直线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）．    （Ⅱ）

本试题主要是考查了圆锥曲线方程的求解，以及直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用。
（1）根据已知中动点与定点的关系式可知该动点的轨迹符合椭圆的定义，则可以利用定义法求解轨迹方程。
(2)设出直线MN方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，结合题目中的三角形的面积比，可知线段的比，然后得到向量的关系式，从而结合坐标得到结论
解：（Ⅰ）因为,，所以曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆．曲线的方程为．     ……4分
（Ⅱ）显然直线不垂直于轴，也不与轴重合或平行.  ……5分
设，直线方程为，其中.
由得.解得或.
依题意，.    ……7分
因为，所以，则. 
于是所以     ……9分
因为点在椭圆上，所以.
整理得，解得或（舍去），从而.
所以直线的方程为.