Question

已知直线AB与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁y₂=-p²．   求证：直线AB经过抛物线的焦点．

Answer 1

分析：设直线AB的方程为：y=kx+b，由

y=kx+b y2=2px

，得k²x²+（2bk-2p）x+b²=0，由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），知x1•x2=

b2

k2

，由y²=2px（p＞0），y₁y₂=-p²，知x1x2 =

y12

2p

•

y22

2p

=

p4

4p2

=

b2

k2

，由此能够证明直线AB经过抛物线的焦点．

解答：证明：设直线AB的方程为：y=kx+b，
由

y=kx+b y2=2px

，得（kx+b）²=2px，
整理，得k²x²+（2bk-2p）x+b²=0，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x1•x2=

b2

k2

，
∵y²=2px（p＞0），y₁y₂=-p²，
∴x1x2 =

y12

2p

•

y22

2p

=

p4

4p2

=

b2

k2

，
∴k=

2b

p

，或k=-

2b

p

，
∴y=

2b

p

x+b（舍）或y=-

2b

p

x+b，
当y=0时，x=

p

2

．
故直线AB经过抛物线的焦点F（

p

2

，0）．

点评：本题考查抛物线的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，注意直线和抛物线位置关系的应用，合理地运用韦达定理进行求解．