Question

已知直线AB与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁y₂=-p²．　 求证：直线AB经过抛物线的焦点．

Answer 1

证明：设直线AB的方程为：y=kx+b，
由，得（kx+b）²=2px，
整理，得k²x²+（2bk-2p）x+b²=0，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴，
∵y²=2px（p＞0），y₁y₂=-p²，
∴=，
∴k=，或k=-，
∴y=（舍）或y=-，
当y=0时，x=．
故直线AB经过抛物线的焦点F（，0）．
分析：设直线AB的方程为：y=kx+b，由，得k²x²+（2bk-2p）x+b²=0，由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），知，由y²=2px（p＞0），y₁y₂=-p²，知=，由此能够证明直线AB经过抛物线的焦点．
点评：本题考查抛物线的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，注意直线和抛物线位置关系的应用，合理地运用韦达定理进行求解．