Question

设P，Q为△ABC内的两点，且

AP =m AB +n AC    (m，n＞0) AQ =p AB +q AC    (p，q＞0)

，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为

 

．

Answer 1

分析：设P到边AB的距离为h₁，Q到边AB的距离为h₂，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为

h1

h2

，h₁是向量AP与AB边上的单位法向量

e

的乘积的绝对值，h₂是向量AQ与AB边上的单位法向量

e

的乘积的绝对值．

解答：解：设P到边AB的距离为h₁，Q到边AB的距离为h₂，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为

h1

h2

，
设AB边上的单位法向量为

e

，

AB

•

e

=0，
则h₁=|

AP

•

e

|=|（m

AB

+n

AC

）•

e

|=|m•

AB

•

e

+n

AC

•

e

|=|n

AC

•

e

|，
同理可得h₂=|q

AC

•

e

|，
∴

h1

h2

=|

n

q

|=

n

q

，
故答案为 n：q．

点评：本题考查向量共线定理、向量数量积的意义，体现了转化的数学思想．