Question

已知函数f（x）满足f(x)=x3+f ′(

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3

)x2-x+C（其中f ′(

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)为f（x）在点x=

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处的导数，C为常数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，求常数C．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后将x=

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代入即可求出f'（

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），从而求出f（x）的解析式，求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确单调区间；
（2）根据第一问可求出函数f（x）的极大值与极小值，方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，等价于[f（x）]_极大值=0或[f（x）]_极小值=0，即可求出常数C的值．

解答：解：（1）由f(x)=x3+f ′(

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)x2-x+C，得f ′(x)=3x2+2f ′(

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)x-1．
取x=

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，得f ′(

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)=3×(

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3

)2+2f ′(

2

3

)×(

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)-1，解之，得f ′(

2

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)=-1，
∴f（x）=x³-x²-x+C．（2分）
从而f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+

1

3

)(x-1)，
列表如下：

∴f（x）的单调递增区间是(-∞ ， -

1

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)和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是(-

1

3

 ， 1)．
（2）由（1）知，[f(x)]极大值=f(-

1

3

)=(-

1

3

)3-(-

1

3

)2-(-

1

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)+C=

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+C；
[f（x）]_极小值=f（1）=1³-1²-1+C=-1+C．
∴方程f（x）=0有且只有两个不等的实数根，等价于[f（x）]_极大值=0或[f（x）]_极小值=0．
∴常数C=-

5

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或C=1．

点评：本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力和分析问题的能力，属于基础题．