Question

函数y=a^x+2-2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则

1

m

+

2

n

的最小值为（　　）

• A．4+

  2

• B．4

  2

• C．8
• D．6-4

  2

Answer 1

分析：由函数y=a^x+1-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，可得A（-2，-1），点A在直线mx+ny+1=0上，得2m+n=1又mn＞0，利用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．

解答：解：由已知定点A坐标为（-2，-1），由点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

2

n

=（

1

m

+

2

n

）（2m+n）=4+

n

m

+

4m

n

≥4+2

n m • 4m n

=8
当且仅当

2m+n=1 n m = 4m n

即m=

1

4

，n=

1

2

时取等号．
故答案为：8

点评：均值不等式在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等条件的把握．当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．