Question

函数y=a^x+2-2的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则

1

m

+

2

n

的最小值为

8

．

Answer 1

分析：利用a⁰=1（a≠0），可得函数y=a^x+2-2的图象恒过定点A，又点A在直线mx+ny+1=0上，可得m，n满足的关系．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答：解：由函数y=a^x+2-2当x=-2时，y=-1，∴图象恒过定点A（-2，-1）．∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴-2m-n+1=0，得2m+n=1，其中mn＞0．
则

1

m

+

2

n

=（2m+n）(

1

m

+

2

n

)=4+

n

m

+

4m

n

≥4+2

n m • 4m n

=8，当且仅当n=2m=

1

2

取等号．∴

1

m

+

2

n

的最小值为8．
故答案为8．

点评：熟练掌握a⁰=1（a≠0）、“乘1法”和基本不等式等是解题的关键．