Question

已知△ABC的顶点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），其中0＜α＜π．
（Ⅰ）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为S△ABC=

7

2

，求sinα-cosα的值

Answer 1

（1）|

AC

|=|

BC

|，得：

(cosα-3)2+sin2α

=

cos2α +(sin α-3)2

，
即：sinα=cosα，
又∵0＜α＜π，
∴α=

π

4

．
（2）直线AB方程为：x+y-3=0.|AB|=3

2

，点C到直线AB的距离为：
d=

|cosα+sinα-3|

2

=

3-(cosα+sinα)

2

．
∵S△ABC=

1

2

|AB|d=

1

2

×3

2

×

3-(cosα+sinα)

2

=

7

2

∴sinα+cosα=

2

3

，
∴2sinαcosα=-

5

9

，
又∵0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0；
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=

14

9

∴sinα-cosα=

14

3