Question

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}$asinB-bcosA=b．
（1）求A；
（2）若b+c=2，当a取最小值时，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意和正弦定理可得sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合三角形内角的范围可得角A；
（2）由余弦定理可得a²=4-3bc，再由已知式子和基本不等式可得bc的范围，可得此时边长，可得三角形的面积．

解答 解：（1）∵在△ABC中$\sqrt{3}$asinB-bcosA=b，
∴由正弦定理可得$\sqrt{3}$sinAsinB-sinBcosA=sinB，
由三角形内角的范围可得sinB≠0，
∴约掉sinB可得$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
∴2sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，即sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$，或A=π（舍去），
故A=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA
=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=4-3bc，
由基本不等式可得bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²=1，当且仅当b=c=1时取等号，
故-bc≥-1，∴-3bc≥-3，故a²=4-3bc≥1，
∴a的最小值为1，此时△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值和和差角的三角函数公式，属中档题．