题目内容
关于函数f（x）=（2x-x2）ex的命题：
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；
②f（-
）是极小值，f（）是极大值；
③f（x）没有最小值，也没有最大值．
其中正确的命题是
- A.①②
- B.①②③
- C.②③
- D.①③
A
分析：①由于ex＞0，所以f（x）＞0由2x-x2＞0求得，进行判定正误．
②③对f（x）求导，利用单调性与导数关系，得出f（x）的单调性，从而得出极值、最值情况，判断正误．．
解答：①由于ex＞0，所以f（x）＞0即须2x-x2＞0解得{x|0＜x＜2}；①正确．
②∵f（x）=（x2-2x）ex的定义域是R，
f′（x）=（2x-2）ex+（x2-2x）ex=（x2-2）ex，
∴令f′（x）=0，得x=-，x=．
列表：
x（-∞，--（-，）（，+∞）f′（x）+0-0+f（x）↑极大值↓极小值↑所以f（-）是极小值，f（）是极大值；②正确．
f（x）既无最大值，也无最小值．③错误．
故选A．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，是基础题．不等式求解，考查转化、计算能力．
分析：①由于ex＞0，所以f（x）＞0由2x-x2＞0求得，进行判定正误．
②③对f（x）求导，利用单调性与导数关系，得出f（x）的单调性，从而得出极值、最值情况，判断正误．．
解答：①由于ex＞0，所以f（x）＞0即须2x-x2＞0解得{x|0＜x＜2}；①正确．
②∵f（x）=（x2-2x）ex的定义域是R，
f′（x）=（2x-2）ex+（x2-2x）ex=（x2-2）ex，
∴令f′（x）=0，得x=-
，x=．列表：
x（-∞，-
-（-，）（，+∞）f′（x）+0-0+f（x）↑极大值↓极小值↑所以f（-）是极小值，f（）是极大值；②正确．f（x）既无最大值，也无最小值．③错误．
故选A．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，是基础题．不等式求解，考查转化、计算能力．
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