Question

（09年山东猜题卷）已知函数和．其中．

（Ⅰ）若函数与的图像的一个公共点恰好在x轴上，求的值；

（Ⅱ）若函数与图像相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的的值；如果没有，请说明理由．

（Ⅲ）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）设函数图像与x轴的交点坐标为（，0），又∵点（，0）也在函数的图像上，∴．

而，∴．（Ⅱ）依题意，，即，整理，得  ，①∵，函数与图像相交于不同的两点A、B，∴，即△==＝(3-1)(--1)>0.∴-1<<且.设A(，)，B(，)，且<，由①得，=1>0, .设点o到直线的距离为d，

则，.

∴＝=.

∵-1<<且,∴当时，有最大值，无最小值.（Ⅲ）由题意可知．,∴,∴当时，即．

又,

∴<0, ∴,综上可知，．