题目内容

已知点 $数学公式$ 和圆O₁： $数学公式$ ，点M在圆O₁上运动，点P在半径O₁M上，且|PM|=|PA|，求动点P的轨迹方程．

解：由题意，可得
圆O₁： $\text{[math]}$ 是以O₁（0，- $\text{[math]}$ ）为圆心，半径r=4的圆
∵点P在半径O₁M上，且|PM|=|PA|，
∴|O₁P|+|PA|=|O₁P|+|PM|=|O₁M|=4，
可得点P到A（0， $\text{[math]}$ ），O₁（0， $\text{[math]}$ ）的距离之和为4（常数）
因此，点P的轨迹是以点A（0， $\text{[math]}$ ），O₁（0， $\text{[math]}$ ）为焦点的椭圆，
∵焦点在y轴上，c= $\text{[math]}$ 且2a=4，
∴a=2得a²=4，b²=a²-c²=4-3=1，椭圆方程为 $\text{[math]}$
综上所述，点P的轨迹方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：根据题意，可得|O₁P|+|PA|=|O₁M|=4，得到P的轨迹是以点A（0， $\text{[math]}$ ），O₁（0， $\text{[math]}$ ）为焦点的椭圆．根据椭圆的基本概念求出椭圆方程，即可得到动点P的轨迹方程．
点评：本题给出圆O₁上动点P和定点A，求点P的轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程和动点轨迹方程的求法等知识，属于基础题．

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(Ⅰ)求证：AD∥EC；

(Ⅱ)若AD是⊙O₂的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．

如图2-5-11，已知⊙O₁和⊙O₂相交于点A、B，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE与AC相交于点P.

图2-5-11

（1）求证：AD∥EC；

（2）若AD是⊙O₂的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长.

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