Question

【题目】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如下图就是在平面直角坐标系的“心形曲线”，又名RC心形线.如果以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC心形线的极坐标方程为.

（1）求RC心形线的直角坐标方程；

（2）已知与直线（为参数），若直线与RC心形线交于两点，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用两边平方的方法，结合极坐标和直角坐标相互转化的公式，求得心形线的直角坐标方程.

（2）将直线的参数方程转化为标准参数方程，然后代入心形线的直角坐标方程，利用直线参数的几何意义，求得的值.

（1）因为，

所以，

即，

故；

（2）因为在直线（为参数）上，

设直线的参数方程为（为参数）

若直线与RC心形线交于两点，，

则只能交于轴右侧部分，

将直线的参数方程，代入方程，化简得，

所以.