Question

lim

n→∞

C 2 2 + C 2 3 + C 2 4 +…+ C 2 n

n( C 1 2 + C 1 3 + C 1 4 +…+ C 1 n )

等于（　　）

• A、3
• B、

  1

  3

• C、

  1

  6

• D、6

Answer 1

分析：利用组合数的性质对原式进行等价转化，得到

lim

n→∞

C 2 2 + C 2 3 + C 2 4 ++ C 2 n

n( C 1 2 + C 1 3 + C 1 4 ++ C 1 n )

=

lim

n→∞

C 3 n+1

n(n-1)(n+2) 2

=

lim

n→∞

(n+1)n(n-1) 6

n(n-1)(n+2) 2

=

1

3

．

解答：解：∵C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²=C₃³+C₃²+C₄²++C_n²=C₄³+C₄²+…+C_n²═C_n+1³，
n(

C

1 2

+

C

1 3

+

C

1 4

++

C

1 n

)=n

(2+n)(n-1)

2

，
∴

lim

n→∞

C 2 2 + C 2 3 + C 2 4 ++ C 2 n

n( C 1 2 + C 1 3 + C 1 4 ++ C 1 n )

=

lim

n→∞

C 3 n+1

n(n-1)(n+2) 2

=

lim

n→∞

(n+1)n(n-1) 6

n(n-1)(n+2) 2

=

1

3

．
故选B．

点评：本题考查数列的极限，解题时要注意组合数的计算和应用．