Question

【题目】平行四边形中，，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为．

（1）当为何值时，三棱锥的体积最大？最大值为多少？

（2）当时，求的大小．

Answer 1

【答案】(1) 当时，三棱锥的体积最大，最大值为;(2).

【解析】

（1）由题意可得BD⊥OD，可得，OC⊥平面ABDO，利用三棱锥的体积计算公式和正弦函数的单调性即可得出；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由，即可得出．

（1）由题知OD为CD在平面ABD上的射影，CO⊥平面ABD，

，∵平面，

∴BD⊥OD，二面角的平面角

∴，则．

∴

当且仅当，即时取等号，

∴当时，三棱锥的体积最大，最大值为．

（2）过O作OE⊥AB于E，则OEBD为矩形，

以O为原点，OE，OD，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，则

由，得，

∴，

得，又为锐角，∴．