Question

【题目】已知函数常数．

证明在上是减函数，在上是增函数；

当时，求的单调区间；

对于中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

利用定义证明即可；把看成整体，研究对勾函数的单调性以及利用复合函数的单调性的性质得到该函数的单调性；对于任意的，总存在，使得可转化成的值域为的值域的子集，建立关系式，解之即可．

证明：：设，，且，

，

，

，，

当时，即，

当时，即，

当时，，即，此时函数为减函数，

当时，，即，此时函数为增函数，

故在上是减函数，在上是增函数；

当时，，

，

设，则，

，

由可知在上是减函数，在上是增函数；

，，

即，，

即在上是减函数，在上是增函数；

由于为减函数，故，

又由（2）得

由题意，的值域为的值域的子集，

从而有，

解得．