Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，点A在椭圆C上，，cos，，过点F₂且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）易知△AF₁F₂为Rt△，由cos及可求得，由椭圆定义可求得a，由b²=a²-c²可求得b；
（II）设线段PQ的中点为N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），直线方程为y=k（x-1）（k≠0），由，可得=0，即PQ⊥MN，故①，联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可表示出N点坐标，代入①可得m，k的关系式，分离出m利用基本不等式即可求得m的取值范围；
解答：解：（Ⅰ）由题意∠AF₁F₂=90°，cos，
又，
所以，2a==4，
所以a=2，c=1，b²=a²-c²=3，即所求椭圆方程为．
（Ⅱ）存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），直线PQ的斜率为k（k≠0），
又F₂（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），
由消y得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韦达定理得，故，
又点N在直线PQ上，所以N．
由，可得=0，即PQ⊥MN，
所以，整理得m==，
所以在线段OF₂上存在点M（m，0）符合题意，其中m．
点评：本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查向量的数量积运算，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性较强，难度较大．