Question

如图所示几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE中点． (1) 求证：DF∥平面ABC (2) 求证：AF⊥BD (3) 求该几何体体积

Answer 1

答案：
解析：

(1)	取AB中点G，连结CG、FG 　　∵F为BE中点 　　∴FG∥AE，FG＝AE． 　　∴FG∥CD，FG＝CD 　　∴四边形FGCD为平行四边形 　　∴DF∥CG 　　∴DF∥面ABC
(2)	∵△ABC为正三角形 　　∴CG⊥AB 　　又EA⊥平面ABC 　　∴CG⊥AE． 　　∴CG⊥平面AEB 　　∴CG⊥AF 　　又CG∥DF， 　　∴AF⊥DF 　　又AE＝AB， 　　∴AF⊥BE 　　∴AF⊥平面BED 　　∴AF⊥BD
(3)	取AC中点M，连结BM，易知面AEDC⊥面ABC 　　∴VABCED＝VB－AEDC＝S四边形AEDC·BM＝a3