Question

如图所示几何体中，平面PAC⊥平面ABC，PM∥BC，PA=PC，AC=1，BC=2PM=2，AB=

5

，若该几何体左视图（侧视图）的面积为

3

4

．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）画出该几何体的主视图（正视图）并求其面积S；
（3）求出多面体PMABC的体积V．

Answer 1

分析：（1）先由勾股定理证明BC与AC垂直，再由面面垂直的性质定理，证明BC与平面PAC垂直，最后由线面垂直的定义证明BC与PA垂直
（2）利用正投影的方法，该几何体的正视图是一个以PM、BC长为上下底边长，以点P到底面ABC的距离为高的直角梯形，由梯形面积公式即可计算其面积
（3）此多面体为一个以四边形PCBM为底面，以点A为顶点的四棱锥，由于底面为直角梯形，高为点A到PC的距离，故利用椎体的体积计算公式即可求得其体积

解答：解：（1）∵AC=1，BC=2，AB=

5

，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面PAC
∵PA?平面PAC，
∴PA⊥BC．
（2）该几何体的主视图如下：

∵PA=PC，取AC的中点D，连接PD，则PD⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，则PD⊥平面ABC，
∴几何体左视图的面积=

1

2

×AC×PD=

1

2

×1×PD=

3

4

∴PD=

3

2

，并易知△PAC是边长为1的正三角形，
∴主视图的面积是上、下底边长分别为1和2，PD的长为高的直角梯形的面积，
∴S=

1+2

2

×

3

2

=

3 3

4

（3）取PC的中点N，连接AN，由△PAC是边长为1的正三角形，可知AN⊥PC，由（1）BC⊥平面PAC，可知AN⊥BC，
∴AN⊥平面PCBM，
∴AN是四棱锥A-PCBM的高且AN=

3

2

由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC，
由PM∥BC可知四边形PCBM是上、下底边长分别为1和2，PC的长1为高的直角梯形，其面积S′=

3

2

．
∴V=

1

3

S′×AN=

3

4

点评：本题考查了面面垂直的性质定理，线面垂直的性质，三视图的画法，以及椎体体积的计算公式，空间想象能力