Question

方程sinx+cosx=k在[0，π]上有两个解，则k的取值范围为（　　）

• A．（-

  2

  ，

  2

  ）
• B．[-1，

  2

  ]
• C．[0，

  2

  ]
• D．[1，

  2

  ）

Answer 1

分析：设y₁=sinx+cosx，y₂=k，方程sinx+cosx=k在[0，π]上有两个解转化为函数y₁=

2

sin（x+

π

4

），x∈[0，π]的图象与直线y₂=k有两个交点，数形结合即可求得k的取值范围．

解答：解：设y₁=sinx+cosx=

2

（

2

2

sinx+

2

2

cosx）
=

2

（sinxcos

π

4

+cosxsin

π

4

）
=

2

sin（x+

π

4

），
∵x∈[0，π]，
∴

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
∴

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，1≤

2

sin（x+

π

4

）≤

2

；
再令y₂=k，
则方程sinx+cosx=k在[0，π]上有两个解等价于函数y₁=

2

sin（x+

π

4

），x∈[0，π]的图象与直线y₂=k有两个交点，

∴1≤k＜

2

．
故选D．

点评：本题考查正弦函数的图象与性质，考查辅助角公式的应用，考查数形结合思想，属于中档题．