Question

已知函数f（x）满足f（x）=x3+f′(

2

3

)x2-x+c（其中f′(

2

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)为f（x）在点x=

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处的导数，c为常数）．若函数f（x）的极小值小于0，则c的取值范围是

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：求出f（x）的导函数，令x=

2

3

得到关于f′（

2

3

）的方程，解方程求出f′（

2

3

）的值．再将f′（

2

3

）的值代入f（x）的解析式，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，根据表求出函数f（x）的单调区间，进而得出函数的极小值，最后建立关于C的不等关系求解即可．

解答：解：由f（x）=x³+f′（

2

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）x²-x+c，
得f′（x）=3x²+2f′（

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3

）x-1．
取x=

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，得f′（

2

3

）=3×（

2

3

）²+2f′（

2

3

）×（

2

3

）-1，
解之，得f′（

2

3

）=-1，
∴f（x）=x³-x²-x+c．
从而f′（x）=3x²-2x-1=3（x+

1

3

）（x-1），列表如下：

x	（-∞，- 1 3 ）	- 1 3	（- 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有极大值	↘	有极小值	↗

∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-

1

3

）和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是（-

1

3

，1）．
∴函数f（x）的极小值为f（1）=-1+c，由题意得-1+c＜0，
∴c＜1．
则c的取值范围是 （-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．

点评：求函数的单调区间及函数的极值、最值，一般列出x，f′（x），f（x）的变化情况表来解决；求函数在某区间函数单调性已知的问题，一般转化为导函数大于等于或小于等于0恒成立问题．