Question

（2012•甘肃一模）如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D是棱AC的中点，E是棱CC₁的中点，AE交A₁D于点H．
（1）求证：AE⊥平面A₁BD；
（2）求二面角D-BA₁-A的大小（用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（1）先证明AE⊥A₁D，再利用平面ABC⊥平面ACC₁A₁，证明BD⊥平面ACC₁A₁，可得AE⊥BD，利用线面垂直的判定，即可得到结论；
（2）连接AB₁，交A₁B于点F，连接HF，证明∠AFH是二面角D-BA₁-A的平面角，从而可求二面角D-BA₁-A的大小．

解答：（1）证明：∵ACC₁A₁是正方形，D是棱AC的中点，E是棱CC₁的中点，
∴tan∠EAC=tan∠DA₁A=

1

2

，∴∠EAC=∠DA₁A
∵∠ADA₁+∠DA₁A=90°，∴∠ADA₁+∠EAC=90°
∴AE⊥A₁D
∵△ABC为正三角形，D是棱AC的中点，
∴BD⊥AC
∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁，平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴AE⊥BD
∵A₁D∩BD=D
∴AE⊥平面A₁BD；
（2）解：连接AB₁，交A₁B于点F，连接HF
∵ABB₁A₁是正方形，∴AB₁⊥A₁B
∵AH⊥平面A₁BD，∴HF⊥A₁B
∴∠AFH是二面角D-BA₁-A的平面角
设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，则在正方形ABB₁A中，AF=

2

在直角△ADA₁中，AH=

AD•AA1

A1D

=

2 5

5

∴在直角△AFH中，sin∠AFH=

AH

AF

=

10

5

∴二面角D-BA₁-A的平面角的大小为arcsin

10

5

．

点评：本题考查直线和平面位置关系、二面角大小，考查转化的思想方法，空间想象能力，计算能力，属于中档题．