Question

已知函数
（I）若为的极值点，求实数的值；
（II）若在上为增函数，求实数的取值范围；
(Ⅲ)当时，方程有实根，求实数的最大值。

Answer 1

（I）（II） (Ⅲ) 实数的最大值为0

解析试题分析：（I）
因为为的极值点，所以，即，
解得。经检验，合题意 
（II）因为函数在上为增函数，所以
在上恒成立。
?当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故 符合题意。         6分                                   
?当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，
故只能，所以在上恒成立。  
令函数，其对称轴为，
因为，所以，
要使在上恒成立，
只要即可，即，
所以。
因为，所以。
综上所述，a的取值范围为。 
（Ⅲ）当时，方程可化为。
问题转化为在上有解，即求函数的值域。
因为函数，令函数， 
则，
所以当时，，从而函数在上为增函数，
当时，，从而函数在上为减函数，
因此。
而，所以，因此当时，b取得最大值0.   
考点：本小题主要考查导数在研究函数性质中的应用，考查学生分类讨论思想的应用.
点评：导数是研究函数性质的有力工具，求极值时要注意验根，因为极值点处的导数值为0，但是导数值为0的点不一定是极值点，涉及到含参数问题，一般离不开分类讨论，分类标准要尽量做到不重不漏.