Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AC＝5，D，E分别为BC，BB₁的中点，四边形B₁BCC₁是边长为6的正方形．

(1)求证：CE⊥平面AC₁D；

(2)求二面角C－AC₁－D的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)证明：在直三棱柱中，

　　平面，又平面，所以．

　　因为，为中点，所以．又，

　　所以平面．

　　又平面，所以．

　　因为四边形为正方形，，分别为，的中点，

　　所以△≌△，．

　　所以．

　　所以．又，

　　所以平面．　6

　　(2)解：如图，以的中点为原点，建立空间直角坐标系．则．

　　由(Ⅱ)知平面，所以为平面的一个法向量．

　　设为平面的一个法向量，

　　，．

　　由可得

　　令，则．

　　所以．从而．

　　因为二面角为锐角，

　　所以二面角的余弦值为．　12