Question

（09年山东实验中学诊断三文）（14分）

设椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆上的一点，原点O到直线AF₁的距离为

（1）求椭圆的离心率；

（2）设Q₁.Q₂为椭圆上的两个动点，以线段Q₁Q₂为直径的圆恒过原点，过原点O作直线Q₁Q₂的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程。

Answer 1

解析：（I）由题设，及，不妨设点，其中，于点A 在椭圆上，有，即，解得，得

直线AF₁的方程为，整理得

由题设，原点O到直线AF₁的距离为，即

将代入上式并化简得，得

（II）设点D的坐标为

当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为

或，其中，

点，的坐标满足方程组

将①式代入②式，得

整理得

于是

由①式得

由知，将③式和④式代入得

将代入上式，整理得当时，直线的方程为的坐标满足方程组，

所以，由知，即，解得，这时，点D的坐标仍满足

综上，点D的轨迹方程为