Question

（09年山东实验中学诊断三理）（13分）已知椭圆的上、下焦点分别为，点为坐标平面的动点，满足

（1）求动点的轨迹的方方程；

（2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线的方程；

（3）在直线上是否存在点，过该点的坐标：若不存在。试说明理由

Answer 1

解析：（1）因为为椭圆的上、下焦点，所以设。

所以 

因为  

所以，整理可得

所以所求动点的轨迹的方程为

（2）（法一）设过点所作曲线的切线的斜率为，则切线方程为

由 可得：

，所以或

过点所作曲线的切线方程为和

由和可分别解得：和

所以直线的方程的方程为：

（法二）设过点所作曲线的两切线的切点为，

   则   记  则，

则两条切线的方程为

即

和

即：

因为两条切线均经过点，所以且

所以  直线的方程的方程为：

（3）若存在，不妨设其坐标为，过点所作曲线的切线斜率为，

则切线方程为，即

由可得：

因为直线和抛物线相切，所以

设两条切线的斜率分别为，则

因为   所以

所以  两条切线垂直  所以所以

所以   在直线上是存在点满足题意。