Question

6．已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．$\overrightarrow{OE}$=k$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=k$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OG}$=k$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OH}$=k$\overrightarrow{OD}$．
（1）求证：四点E，F，G，H共面；
（2）平面AC∥平面EG．

Answer 1

分析 （1）可画出图形，根据$\overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OB}$便可得到$\frac{OE}{OA}=\frac{OF}{OB}$，从而得出EF∥AB，同理HG∥DC，且有EF=HG，这便可判断四边形EFGH为平行四边形，从而得出四点E，F，G，H共面；
（2）由上面知EF∥AB，FG∥BC，从而得出EF∥平面AC，FG∥平面AC，这样根据面面平行的判定定理即可得出平面AC∥平面EG．

解答 解：（1）证明：如图，
∵$\overrightarrow{OE}=k\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OF}=k\overrightarrow{OB}$；
∴$\frac{OE}{OA}=\frac{OF}{OB}=|k|$；
EF∥AB，且EF=|k|AB；
同理HG∥DC，且HG=|k|DC，AB=DC；
∴EF∥HG，且EF=HG；
∴四边形EFGH为平行四边形；
∴四点E，F，G，H共面；
（2）由上面EF∥AB，AB?平面AC，EF?平面AC；
∴EF∥平面AC，同理FG∥BC，FG∥平面AC；
EF∩FG=F；
∴平面AC∥平面EG．

点评 考查共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，平行线分线段成比例，以及平行四边形的概念及判断方法，线面平行和面面平行的判定定理．