Question

（2010•宿松县三模）已知二项式(2x-

2

2

)9(x∈R，x≠0)的展开式的第7项为

21

4

，则

lim

n→∞

(x+x2+x3+…+xn)的值为

-

1

4

．

Answer 1

分析：通过展开式的第7项为

21

4

，求出x的值，利用等比数列求出x+x²+x³+…+xⁿ的和，然后求出极限即可．

解答：解：因为二项式(2x-

2

2

)9(x∈R，x≠0)的展开式的第7项为

21

4

，
所以

C

6 9

(2X)3(-

2

2

)6=

21

4

，即23X=

1

2

，x=-

1

3

，
x+x²+x³+…+xⁿ=

x(1-xn)

1-x

=

- 1 3 (1-(- 1 3 )n)

1+ 1 3

=-

1

4

+

1

4

(-

1

3

)n，
∴

lim

n→∞

(x+x2+x3+…+xn)=

lim

n→∞

[-

1

4

+

1

4

(-

1

3

)n]=-

1

4

+

lim

n→∞

[

1

4

(-

1

3

)n]=-

1

4

．
故答案为：-

1

4

．

点评：本题是中档题，考查二项式定理系数的性质，数列的极限的求法，考查计算能力．