Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，N为的中点.

（1）求证：平面

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值

（3）在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（3）存在，

【解析】

（1）首先过作，垂足为，以为坐标原点，分別以，，为轴建立空间直角坐标系，分别求出和平面的法向量，根据即可证明平面.

（2）求出平面的法向量为，再代入二面角公式计算即可得到答案.

（3）首先假设线段上存在一点，设，，得到，根据直线与平面所成角的正弦值为，求得，所以存在，且.

（1）过作，垂足为，则，

以为坐标原点，分別以，，为轴建立空间直角坐标系，

如图所示：

则，，，，

，，，

设平面的一个法向量为

，，

则，令，解得：.

因为，所以

又平面，所以平面.

（2）设平面的一个法向量为，

因为，，

所以，令，解得.

所以.

即平面与平面所成锐二面角的余弦值.

（3）假设线段上存在一点，设，，.

因为，所以

则

因为平面的一个法向量

所以，

整理得：，

所以，因为，所以.

所以存在，且.