题目内容
某制药厂研制出一种新型疫苗，经市场调查得知，生产这批疫苗的总成本有以下方面：①每生产1盒疫苗需要原料费30元；②支付全体职工的工资总额由5650元的基本工资和每生产1盒疫苗再支付10元组成；③后期保管的平均费用是每盒（x+
-60）元（疫苗的日生产量为x盒，50≤x≤200，x∈N*）．
（1）把生产每盒疫苗的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；
（2）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于日产量x盒的函数关系为Q（x）=1180x-
x3，问：当日产量为多少盒时生产这批疫苗的利润最大？
| 750 |
| x |
（1）把生产每盒疫苗的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；
（2）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于日产量x盒的函数关系为Q（x）=1180x-
| 1 |
| 30 |
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数最值的应用
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（1）根据生产新型疫苗的生产成本有三个方面，可得函数关系P（x），利用配方法求出P（x）的最小值；
（2）生产新型疫苗的利润f（x）=Q（x）-xf（x）=（1180x-
x3）-x（x+
-20）=-
x3-x2+1200x-6400（50≤x≤200，x∈N*）利用导数，可得结论．
（2）生产新型疫苗的利润f（x）=Q（x）-xf（x）=（1180x-
| 1 |
| 30 |
| 6400 |
| x |
| 1 |
| 30 |
解答：
解：（1）因为疫苗的日生产量为x盒，由题意知每日疫苗原料费用为30x元，
职工的工资总额为5650+10x元，后期保管费用为x（x+
-60）元，
所以每盒疫苗的平均费用为：
P（x）=
=x+
-20（50≤x≤200，x∈N*），
由均值不等式得x+
≥2
=160，则P（x）≥140，
当且仅当x=
，即x=80（盒）时取等号．
所以P（x）的最小值为140元．
（2）设利润为y=f（x），
则f（x）=Q（x）-xf（x）=（1180x-
x3）-x（x+
-20）
=-
x3-x2+1200x-6400（50≤x≤200，x∈N*），
当x∈R时，f′（x）=-
x2-2x+1200．
令f′（x）=0得x=100或x=-120（舍），
当x∈（50，100）时，f′（x）＞0；当x∈（100，200）时，f′（x）＜0．
所以当x=100时f（x）取得极大值，且是最大值，
即当日生产量为100盒时，生产疫苗的利润最高．
职工的工资总额为5650+10x元，后期保管费用为x（x+
| 750 |
| x |
所以每盒疫苗的平均费用为：
P（x）=
| 30x+5650+10x+x2+750-60x |
| x |
| 6400 |
| x |
由均值不等式得x+
| 6400 |
| x |
x•
|
当且仅当x=
| 6400 |
| x |
所以P（x）的最小值为140元．
（2）设利润为y=f（x），
则f（x）=Q（x）-xf（x）=（1180x-
| 1 |
| 30 |
| 6400 |
| x |
=-
| 1 |
| 30 |
当x∈R时，f′（x）=-
| 1 |
| 10 |
令f′（x）=0得x=100或x=-120（舍），
当x∈（50，100）时，f′（x）＞0；当x∈（100，200）时，f′（x）＜0．
所以当x=100时f（x）取得极大值，且是最大值，
即当日生产量为100盒时，生产疫苗的利润最高．
点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了基本不等式与导数的综合应用，属于中档题．
练习册系列答案
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cos390°=（ ）
A、
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B、
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C、
| ||||
D、-
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已知抛物线y2=8x的准线与双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程是y=
x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
4
| ||
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A、
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B、
| ||||
C、
| ||||
D、
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