Question

函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出其单调递增区间；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+2cos2x，求函数g（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过函数的图象求出A，T，然后推出ω，利用x=

π

6

时，f（x）=2，求出φ，即可求函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调增区间写出函数的单调递增区间；
（Ⅱ）通过两角和的正弦函数化简函数g（x）=f（x）+2cos2x为一个三角函数的形式，利用[-

π

6

，

π

4

]，求出相位的范围，通过三角函数求解函数的最大值和最小值．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由图可得A=2，

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，
所以T=π，所以ω=2． …（2分）
当x=

π

6

时，f（x）=2，可得 2sin(2•

π

6

+φ)=2，
因为|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

．  …（4分）
所以函数f（x）的解析式为f(x)=2sin(2x+

π

6

)．…（5分）
函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．…（7分）
（Ⅱ）因为g(x)=f(x)+2cos2x=2sin(2x+

π

6

)+2cos2x=2sin2xcos

π

6

+2cos2xsin

π

6

+2cos2x…（8分）
=

3

sin2x+3cos2x=2

3

sin(2x+

π

3

)．…（10分）
因为x∈[-

π

6

，

π

4

]，所以0≤2x+

π

3

≤

5π

6

．
当2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

时，函数g（x）有最大值为2

3

；    …（12分）
当2x+

π

3

=0，即x=-

π

6

时，函数g（x）有最小值0．      …（13分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数的应用，三角函数的单调性的求法，考查计算能力．