Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若且，求证： .

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：(1)对函数求导，然后分类讨论若时、时和时三种情况，分别给出单调性（2）法一：构造，求导算出最值，构造，利用二阶导数，得，从而得证；法二：利用放缩法当时，得，即，然后再证明；法三：对问题放缩由于，则只需证明，然后给出证明

解析：解法一：（1）函数的定义域为，

，

①若时，则， 在上单调递减；

②若时，当时， ；

当时， ；

当时， .

故在上， 单调递减；在上， 单调递増；

③若时，当时， ；

当时， ；当时， .

故在上， 单调递减；在上， 单调递増.

（2）若且，

欲证，

只需证，

即证.

设函数，则.

当时， .故函数在上单调递增.

所以.

设函数，则.

设函数，则.

当时， ，

故存在，使得，

从而函数在上单调递增；在上单调递减.

当时， ，当时，

故存在，使得，

即当时， ，当时，

从而函数在上单调递增；在上单调递减.

因为，

故当时，

所以，

即.

解法二：（1）同解法一.

（2）若且，

欲证，

只需证，

即证.

设函数，则.

当时， .故函数在上单调递增.

所以.

设函数，

因为，所以，所以，

又，所以，

所以，

即原不等式成立.

解法三：（1）同解法一.

（2）若且，

欲证，

只需证，

由于，则只需证明，

只需证明，令，

则，

则函数在上单调递减，则，

所以成立，

即原不等式成立.