Question

已知椭圆C：的离心率为，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C的焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆上任意一点，以M为圆心，MF₁为半径作圆M，当圆M与椭圆的右准线l有公共点时，求△MF₁F₂面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据焦距为2求出c的值，再由离心率为可求出a的值，进而得到b的值写出椭圆方程．
（2）先设M的坐标为（x，y）根据题意满足，再表示出直线l的方程，因为圆M与l有公共点可得到M到l的距离4-x小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y²+10x-15≥0，再由则消去y，求出x的取值范围，再表示出△MF₁F₂面积即可求出最大值．
解答：解：（1）因为2c=2，且，所以c=1，a=2．
所以b²=3．
所以椭圆C的方程为．
（2）设点M的坐标为（x，y），
则．
因为F₁（-1，0），，
所以直线l的方程为x=4．
由于圆M与l有公共点，
所以M到l的距离4-x小于或等于圆的半径R．
因为R²=MF₁²=（x+1）²+y²，
所以（4-x）²≤（x+1）²+y²，
即y²+10x-15≥0．
又因为，
所以．
解得．又，∴
当时，，
所以．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点，每年必考，经常以压轴题的形式出现，要想答对此题必须熟练掌握其基础知识，对各种题型多加练习．