题目内容

设A、B、C是△ABC的三个内角，且sin2B+sin2C=sin2A+
3
sinBsinC，则2sinBcosC-sin （B-C）的值为（　　）
A、
3
3
B、
3
2
C、
2
2
D、
1
2
分析：利用正弦定理和余弦定理把sin2B+sin2C=sin2A+
3
sinBsinC化简可得cosA的值，根据cosA大于0利用同角三角函数间的基本关系得到sinA的值，然后利用诱导公式把所求的式子化简，将sinA的值代入即可求出．
解答：解：因为
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC

所以sin2B+sin2C=sin2A+
3
sinBsinC可变为：b2+c2=a2+
3
bc；
则cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
3
2
＞0，所以sinA=
1-(
3
2
)2
=
1
2

所以2sinBcosC-sin（B-C）=2sinBcosC-（sinBcosC-cosBsinC）
=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=
1
2

故选D．
点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．
练习册系列答案
相关题目
设A，B，C是半径为1的圆上三点，若AB=
3
，则
AB
•
AC
的最大值为（　　）
设
a
，
b
，
c
是互不共线的非零向量，给出下列命题：①(
a
•
b
)2≤|
a
|2|
b
|2；②(
a
•
b
)2=
a
2•
b
2；③若|3
a
+2
b
|=|3
a
-2
b
|，则
a
与
b
垂直；④在等边△ABC中，
AB
与
BC
的夹角为60°，上述命题中正确命题个数为（　　）
A、1个B、2个C、3个D、4个
（2012•眉山一模）设函数f（x）对其定义域内的任意实数x1与x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，则称函数f（x）为上凸函数． 若函数f（x）为上凸函数，则对定义域内任意x1、x2、x3，…，xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
（当x1=x2=x3=…=xn时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
②二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
③f（x）是上凸函数，若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且
AC
=λ
CB
，则f(
x1+λx2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2
．
其中，正确命题的序号是
①③④
①③④
（写出所有你认为正确命题的序号）．
（2010•成都一模）如图，设A、B、C是球O面上的三点，我们把大圆的劣弧
BC
、
CA
、
AB
在球面上围成的部分叫做球面三角形，记作球面三角形ABC，在球面三角形ABC中，OA=1，设
BC
=a，
CA
=b，
AB
=c，a，b．c∈(0，π)，二面角B-OA-C、
C-OB-A、A-OC-B的大小分别为α、β、γ，给出下列命题：
①若α=β=γ=
π
2
，则球面三角形ABC的面积为
π
2
；
②若a=b=c=
π
3
，则四面体OABC的侧面积为
π
2
；
③圆弧
AB
在点A处的切线l1与圆弧
CA
在点A处的切线l2的夹角等于a；
④若a=b，则α=β．
其中你认为正确的所有命题的序号是
①②④
①②④
．
（2008•崇明县一模）设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（　　）

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