Question

设A，B，C是半径为1的圆上三点，若AB=

3

，则

AB

•

AC

的最大值为（　　）

• A．3+

  3

• B．

  3

  2

  +

  3

• C．3
• D．

  3

Answer 1

分析：先根据余弦定义可求出AB边所对的圆心角，从而得到角C，然后根据数量积公式将

AB

•

AC

转化成角B的三角函数，从而可求出最值．

解答：解：∵A，B，C是半径为1的圆上三点，AB=

3

，
∴根据余弦定理可知AB边所对的圆心角为120°则∠C=60°
根据正弦定理可知AC=2sinB
∴

AB

•

AC

=

3

×2sinBcos（120°-B）=2

3

sinB（-

1

2

cosB+

3

2

sinB）
=-

3

sinBcosB+3sin²B
=-

3

2

sin2B+

3

2

（1-cos2B）
=

3

2

-

3

sin（2B+60°）
当B=60°时

AB

•

AC

取最大值为

3

2

+

3

故选B．

点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及余弦定理和正弦定理的应用，同时考查了三角函数的值域，属于中档题．