Question

在△ABC中，边a上的高为h，且a=3h，则

c

b

+

b

c

的最大值是

13

．

Answer 1

分析：由于

c

b

+

b

c

=

c2+b2

bc

，S_△ABC=

1

2

ah=

1

2

bcsinA，于是bc=

ah

sinA

，结合余弦定理c²+b²=a²+2bccosA，可得到

c2+b2

bc

=3sinA+2cosA．利用辅助角公式，问题得到解决．

解答：解：∵S_△ABC=

1

2

ah=

1

2

bcsinA，
∴bc=

ah

sinA

，又a=3h，
∴由余弦定理c²+b²=a²+2bccosA，
又

c

b

+

b

c

=

c2+b2

bc

=

a2+2bc•cosA

bc

=

a2

bc

+2cosA=

a2

ah sinA

+2cosA
=3sinA+2cosA
=

13

sin（A+θ）（tanθ=

2

3

）．
∴

c

b

+

b

c

的最大值是

13

．
故答案为：

13

．

点评：本题考查三角函数的最值，难点在于三角形的面积公式与余弦定理的综合运用，辅助角公式的使用，属于难题．