Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

m

=(sin2A+sin2B ， -1)，

n

=(1 ， sinAsinB +sin2C)，且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设f（x）=cos（ωx-C）-cos（ωx+C）（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在[0 ， 

π

3

]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用向量垂直数量积为0列出方程，利用三角形的正弦定理转化为边的关系；利用三角形的余弦定理求出C．
（II）利用两角和与差的余弦公式展开；利用正弦函数的周期公式列出方程求出ω，利用三角函数的有界性求出最大值．

解答：解：（Ⅰ）由

m

⊥

n

得（sin²A+sin²B）×1+（-1）（sinAsinB+sin²C）=0，
即sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB（3分）
由正弦定理得a²+b²-c²=ab，即cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

∵C是△ABC的内角
∴C=

π

3

（6分）
（Ⅱ）f(x)=cos(ωx-C)-cos(ωx+C)  =2sinωxsinC=

3

sinωx
∵f（x）的最小正周期为π
∴

2π

ω

=πω=2（9分）
∴f(x)=

3

sin2x
∵x∈[0 ， 

π

3

]
∴0≤2x≤

2π

3

∴当2x=

π

2

即x=

π

4

时，f（x）的最大值为

3

（12分）

点评：本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0、考查三角形的正弦定理，余弦定理、考查两角和与差的余弦公式、考查三角函数的周期公式及三角函数的有界性．