题目内容

设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=
3
3
，则该椭圆的离心率为
 
．
分析：先根据
PF1
•
PF2
=0，tan∠PF1F2=
3
3
，可得到PF1⊥PF2和∠PF1F2的值，再由|PF1|+|PF2|=|FF2|（cos30°+sin30°）=2a可确定a，c的关系，进而得到离心率的值．
解答：解：由
PF1
•
PF2
=0知，PF1⊥PF2．
由tan∠PF1F2=
3
3
知，∠PF1F2=30°．
则|PF1|+|PF2|=|FF2|(cos30°+sin30°)=(
3
+1)c=2a，
即e=
c
a
=
2
3
+1
=
3
-1．
故答案为：
3
-1．
点评：本题是有关椭圆的焦点三角形问题，却披上了平面向量的外衣，实质是解三角形知识的运用．
练习册系列答案
相关题目
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，C，原点O到直线AF1的距离为
1
3
|OF1|．
（Ⅰ）证明a=
2
b；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命题成立：设圆x2+y2=t2上任意点M（x0，y0）处的切线交椭圆于Q1，Q2两点，则OQ1⊥OQ2．
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的动点Q，过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为（　　）
A、x2+y2=a2
B、x2+y2=b2
C、x2+y2=c2
D、x2+y2=e2
设P是椭圆
x2a2
+y2=1   (a＞1)短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．
（2012•即墨市模拟）设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（　　）
设-1＜a＜-
1
2
，则椭圆
x2
a2
+
y2
(a+1)2
=1的离心率的取值范围是（　　）

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