Question

已知f(x)=

1  (x＜-1) x+2(x≥-1)

，g(x)=

x-2(x≤1) -1  (x＞1)

，h（x）=f（x）•g（x）
（1）求函数h（x）的解析式，并求它的单调递增区间；
（2）若h（x）=t有四个不相等的实数根，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据条件h（x）=f（x）•g（x）即可求函数h（x）的解析式，根据图象即可求它的单调递增区间；
（2）作出函数h（x）的图象，利用数形结合即可得到满足条件的t的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=

1  (x＜-1) x+2(x≥-1)

，g(x)=

x-2(x≤1) -1  (x＞1)

，
∴h（x）=f（x）•g（x）=

x-2，x＜-1 x2-4，-1≤x≤1 -x-2，x＞1

，
作出对应的图象如图：
由图象可知函数的递增区间为：（-∞，-1）和（0，1）．
（2）由图象可知
当t＞-3时，方程h（x）=t有3个不相等的实数根，
当t=-3时，方程h（x）=t有2个不相等的实数根，
当t=-4时，方程h（x）=t有3个不相等的实数根，
当-4＜t＜-3时，方程h（x）=t有4个不相等的实数根，
当t＜-4时，方程h（x）=t有2个不相等的实数根，
故若h（x）=t有四个不相等的实数根，
则-4＜t＜-3．

点评：本题主要考查分段函数的图象和性质，以及方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．