Question

【题目】已知函数f（x）= +ax，x＞1．
（1）若函数f（x）在 处取得极值，求a的值；
（2）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= +a，由题可知 ，

经检验a=2，符合题意

（2）解：将方程（2x﹣m）lnx+x=0两边同除lnx得（2x﹣m）+ =0，

整理得 +2x=m，即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点

f（x）= +2x，f′（x）= ，

令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，

解得：lnx= 或lnx=﹣1（舍），即x= ，

当1＜x＜ 时，f′（x）＜0，当x＞ 时，f′（x）＞0，

可知，f（x）在（1， ）上单调递减，在（ ，e）上单调递增，

f（ ）=4 ，f（e）=3e，当x→1时， →+∞，∴4 ＜m≤3e，

实数m的取值范围为（4 ，3e]

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出a的值，检验即可；（2）整理得 +2x=m，即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点，由f（x）= +2x的单调性求出m的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．