Question

【题目】为了培养学生的数学建模和应用能力，某校组织了一次实地测量活动，如图，假设待测量的树木AE的高度H（m），垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β（D，C，E三点共线），试根据上述测量方案，回答如下问题：

（1）若测得α=60°、β=30°，试求H的值；
（2）经过分析若干次测得的数据后，大家一致认为适当调整标杆到树木的距离d（单位：m），使α与β之差较大时，可以提高测量精确度．
若树木的实际高度为8m，试问d为多少时，α﹣β最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABE中可得AD= ，

在Rt△ADE中可得AB= ，BD= ，

由AD﹣AB=DB，故得 ，

得：H= = =6．

因此，算出的树木的高度H是6m．

（2）解：由题设知d=AB，得tanα= ，tanβ= = = ，

tan（α﹣β）= = = =

= ，（当且仅当d= ）时，取等号）

故当H=8时，d=4 ，tan（α﹣β）最大．

因为0＜β＜α＜ ，则0＜α﹣β＜ ，所以当d=4 时，α﹣β最大．

【解析】1、由题意可知，在Rt△ABE中可得AD= , 在Rt△ADE中可得AB=, BD= ，根据,即可得到H的值。
2、先用d分别表示出和，利用两角和的正切公式求得tan（α﹣β），整理成基本不等式的形式，再根据基本不等式求出最大值α﹣β。